Assalamualaikum ~

Selamat pagi, selamat siang, selamat malam, salam jumpa dari Rein buat kalian semua kapanpun kalian baca tulisan Rein.

Apa kabar semua? Pastinya baik-baik aja, kan? Kalau Rein alhamdulillah sehat-sehat aja, kalian juga semoga selalu dijaga kesehatan oleh Tuhan ^-^.

Ngomong-ngomong Rein kali ini mau membagikan sedikit materi matematika.

Apa? Rein dengar suara dengusan. Siapa tuh? Kalian pasti suka matematika, kan? Hah, ada yang nggak suka matematika? Coba deh ubah mindset kalian, masa kalian nggak suka matematika si ilmu serba guna? Coba nanti baca ulasan Rein tentang matematika, bisa aja nanti kalian tertarik mau mendalami matematika.

Buat yang mau tau, postingan kali ini khusus untuk memenuhi tugas final test Rein. Sebelumnya nama asli Rein adalah Intan Sari, seorang mahasiswi Pendidikan Matematika angkatan 2018 di Universitas Islam Negeri Antasari Banjarmasin. Jadi, disini Rein mau berterima kasih kepada bapak Aziz Muslim, M.Pd atas perkuliahannya selama satu semester ini. Ilmunya sangat bermanfaat, pak ^-^

Oh iya, hampir aja lupa. Materi yang bakal Rein bagi sama kalian adalah definisi elips dan unsur-unsurnya serta sumbu mayor dan minor elips. Bicara tentang elips, kalian pasti tahu kan jika elips merupakan bagian dari irisan kerucut? Jika belum tahu kapan-kapan nanti Rein bahas ya. Sekarang dari pada kalian kebanyakan baca monolog Rein, lebih baik langsung ke materi.

Definisi Elips dan Unsur-Unsurnya

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang memiliki jumlah jarak yang sama terhadap dua titik tertentu yang berbeda. Selanjutnya dua titik tersebut disebut titik fokus (foci) elips. Untuk lebih memahami tentang bangun elips perhatikan unsur-unsur parabola yang terdapat dalam Gambar 1 berikut.

Gambar 1

Pada gambar tersebut elips simetri dengan sumbu x dan sumbu y. Memotong sumbu x di (a,0) dan (-a,0), serta memotong sumbu y di titik (0,b) dan (0,-b). Berdasarkan gambar tersebut diperoleh:

v Titik Fokus (𝑐,0) dan 𝐹′(−𝑐,0)

v Sumbu utama elips: sumbu yang melalui kedua titik fokus.

v Puncak adalah titik potong ellips dengan sumbu utama: A(𝑎,0) dan 𝐴′(−𝑎,0)

v Pusat elips adalah titik yang terletak di tengah-tengah kedua puncak dan melalui sumbu utama: titik O(0,0)

v Jarak fokus ke pusat ellips: c

v Sumbu mayor: sumbu yang lebih panjang yang menghubungkan kedua puncak: ruas garis

v Panjang sumbu mayor: |𝐴𝐴′|=2𝑎 satuan

v Sumbu minor: sumbu yang lebih pendek yang menghubungkan sumbu y di titik (0,b) dan (0,-b): ruas garis 

v Panjang sumbu minor: |𝐵𝐵′|=2𝑏 satuan

v Latus Rectum adalah tali busur yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus sumbu mayor: ruas garis  

 dan 

v Panjang Latus Rectum =|4𝑝|

v Latera rekta adalah titik singgung dari latus rectum dengan ellips: Titik 𝐿;L′;𝑅;𝑅′

v Eksentrisitas ellips adalah

Sumbu Mayor dan Sumbu Minor

Sumbu mayor adalah garis lurus terpanjang pada elips. Sumbu mayor (sumbu transvers) adalah garis lurus yang melalui kedua titik fokus elips. Selain itu pada sumbu mayor juga terletak titik pusat (origin) dan titik-titik puncak (vertex) elips. Titik puncak ini yang sekaligus menjadi titik-titik ujung pada sumbu mayor. Jadi dapat disimpulkan bahwa sumbu mayor adalah garis lurus terpanjang yang menjadi tempat kedudukan titik fokus, titik puncak, dan titik pusat elips. Perhatikan gambar 2.

Sumbu minor (sumbu sekawan) adalah sumbu lain yang membagi dua elips sama besar. Sumbu minor adalah garis lurus yang berpotongan tegak lurus dengan sumbu minor di titik pusatnya. Sehingga sumbu minor juga membagi dua sumbu mayor sama panjang. Perhatikan gambar 2. 

Gambar 2

Pada gambar 2 menunjukan dua bangun elips dengan ukuran yang sama namun berbeda posisi. Pada gambar 2.(a) menunjukan sumbu mayor

terletak pada sumbu-x dengan titik puncak V dan V’. Adapun sumbu minornya adalah ruas garis

.

Sedangkan pada gambar 2.(b) menunjukan elips dengan sumbu mayor terletak pada sumbu-y.

Koordinat titik-titik puncak pada gambar 2.(a) dilambangkan 𝑉(𝑎,0) dan 𝑉′(−𝑎,0). Maka panjang.Dengan demikian panjang sumbu mayor elips adalah 2𝑎. Dapat kita katakan pula bahwa a adalah panjang setengah sumbu mayor. Hal yang sama juga kita peroleh pada panjang sumbu minor, dimana berdasarkan koordinat titik B dan B’ kita temukan bahwa |𝐵𝐵′|=2𝑏. Sehingga panjang sumbu minor elips adalah 2𝑏.

Hasil yang sama juga dapat kita peroleh dari perhitungan titik puncak |𝑉𝑉’| dan |𝐵𝐵’| pada elips vertikal (Gambar 2.b). Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Panjang sumbu mayor =2𝑎

Panjang sumbu minor =2𝑏

Berdasarkan kondisi sumbu mayor-minor tersebut, dapat disimpulkan bahwa dalam bangun elips nilai 𝑎>𝑏.

Adapun yang membedakan sumbu mayor dan minor pada kedua elips tersebut adalah dapat kita tentukan dari koordinat titik-titik yang diketahui. Untuk elips horizontal maka nilai yang tetap adalah koordinat ordinat terhadap titik fokus, puncak, dan titik asal elips. Sedangkan pada elips vertikal nilai yang sama antar setiap titik adalah koordinat absisnya.

Selanjutnya perhatikan Gambar 2.c berikut.

Gambar 2.c

Berdasarkan gambar 2.c dengan mengacu definisi elips diketahui bahwa

Sehingga diketahui bahwa nilai yang tetap itu adalah 2𝑎. Selanjutnya dengan memisalkan suatu titik lain pada elips yaitu titik B, maka |𝐵𝐹|+|𝐵𝐹′|=2𝑎. Karena titik B adalah perpotongan elips dengan sumbu minor (sumbu simetri elips), maka jarak B ke kedua fokusnya adalah sama yaitu

.

Segitiga Δ𝐵𝑂𝐹 adalah segitiga siku-siku di O. Sehingga dengan Teorema Phytagoras diperoleh,

           

            

Keterangan:

𝑎 = panjang setengan sumbu mayor

𝑏 = panjang setengah sumbu minor

𝑐 = panjang dari titik fokus ke titik pusat elips

Melalui panjang sumbu mayor, sumbu minor, koordinat titik fokus dan titik puncak kita dapat menggambarkan secara sederhana bentuk elipsnya. Seperti contoh berikut.

Contoh:

1.    Gambarkan sketsa elips yang memiliki koordinta titik fokus (±4,0), serta panjang sumbu mayor 10 satuan.

Penyelesaian:

·           Berdasarkan koordinat titik fokus diketahui bahwa

F(4,0) dan 𝐹′(−4,0) diperoleh nilai 𝑐=4

·           Karena nilai yang berbeda pada titik fokus absisnya, maka titik fokus elips berada pada sumbu x, dengan kata lain sumbu mayor berada pada sumbu x (horizontal).

·           Panjang sumbu mayor 2𝑎=10 satuan, maka 𝑎=5. Sehingga koordinat titik puncaknya (5,0) dan (-5,0)

·          

 atau 

·           

b==3

·           Sehingga diperoleh koordinat titik potong elips dengan sumbu minor adalah (3,0) dan (-3,0), dengan panjang sumbu minornya adalah 2𝑏=6

Berdasarkan yang diketahui tersebut dapat dilukiskan grafik elips sebagai berikut:

DAFTAR PUSTAKA

Fuller, G. 1954. Analitytic geometry. Cambridge: Addison-Wesley.

Muslim, Aziz. Bahan Ajar Geometri Geometri Analitik Datar. Diktat.

Nah, sekarang kalian kenal dengan elips. Jangan lupa nanti komen dan sarannya, ya…

Sampai sini saja materi yang Rein bagikan. Ingat, matematika itu dicintai jangan dibenci.  Oh ya, kunjungi channel youtube Akari Rein untuk melihat video singkat tentang sumbu mayor dan sumbu minor.

Ok, sampai jumpa di postingan Rein yang lain.

Assalamu’alaikum ~